Некоторые особенности моделей и задач математического моделирования

О точности моделей. Ни одна модель в принципе не способна от­разить оригинал полностью и всесторонне. Это положение вытекает из  общефилософских соображе­ний и одинаково верно как для материальных, так и для мысленных моделей.

Более того, часто оказывает­ся, что на практике целесообраз­нее пользоваться менее «совер­шенной» моделью, отражающей только отдельные черты оригинала и совсем непохожей на ориги­нал с других точек зрения.

В ряде случаев целесообразно один оригинал моделировать при помощи разных моделей, непохожих одна на другую. Рассмотрим этот вопрос на примитивном примере.

 

Пример 1. Разные модели одного оригинала.

Предположим, мы хотим смоделировать лабораторный стол для размещения опытных установок. Как должна выглядеть модель стола? Это зависит от того, какие вопросы желательно решать при помощи моделирования.

Если это вопрос о механической прочности (скажем, на установках ожида­ются удары большой силы), то основное требование—иметь возможность рас­считать силу удара, разрушающего оригинал. На этом этапе модель, возможно, воспроизведет только каркас, принимающий на себя нагрузки.

Если решается вопрос о коррозионной стойкости материалов того же стола при воздействии веществ, которые могут выделиться при проведении опытов, то моделью будут служить просто кусочки материалов, погруженные в соответст­вующие среды. Такую модель, и моделью-то обычно не называют, но, с точки зрения данного нами определения, это тоже модель.

Если же мы хотим заранее решить вопрос о наиболее удобном размещении нашего стола в тесной лаборатории, то роль модели с успехом может выполнить бумажный прямоугольник, который мы двигаем по плану лаборатории.

 

Сходная особенность характерна и для мысленных моделей. Как и любая стадия познания, мысленная модель содержит в себе объективную истину, но не является абсолютной истиной. Вслед­ствие сложности и многогранности любого явления природы часто оказывается целесообразным описывать и анализировать одно и то же явление, один и тот же объект в разных случаях при помо­щи разных моделей. Классическим примером подобной ситуации является дуализм элементарных частиц. В зависимости от харак­тера решаемой задачи, поведение одних и тех же частиц описы­вается либо корпускулярной, либо волновой моделью.

Важной особенностью мысленных моделей является то, что часто имеет смысл пользоваться упрощенной моделью даже в том случае, когда существует более совершенная. Это связано с тем обстоятельством, что чем проще модель, тем, как правило, проще сделать на ее основе количественные выводы. Зачастую бывает, что уточнение, получаемое при использовании более сложной мо­дели, не оправдывает усложнения. Иногда этим уточнением вообще можно пренебречь. В таких случаях стоит пользоваться упрощен­ными моделями. Примеров тому множество.

В большинстве технологических расчетов свойств газов мы ис­ходим из модели идеального газа, отлично зная, что реальные газы можно описать гораздо совершеннее. Но это ни к чему, поскольку для нас достаточна точность, даваемая приближенной моделью. И лишь при высоких давлениях, вблизи температуры конденсации или при высокоточных расчетах возникает необходимость в услож­ненных моделях.

Сегодня у нас есть модели молекулы гораздо более совершен­ные, чем модель Бутлерова. Несмотря на это, обычно мы изобра­жаем молекулы «по Бутлерову». И лишь когда необходимо рас­считать энергетику молекулы или когда речь идет о веществах со сложными формами химической связи, таких как хелаты или ферроцен, насущно необходимыми становятся другие модели.

Разумеется, если нужно достаточно точно описать сложный объект, следует применить сложную модель. В этих случаях полу­чение полноценного математического описания—трудная задача, требующая большой работы. Но результат может оправдать все затраты.

Дальше в этом разделе мы будем обсуждать вопрос о сложно­сти моделей, записываемых уравнениями или системами уравне­ний. Такие случаи встречаются наиболее часто (хотя, разумеется, модель может содержать и иные математические структуры—не­равенства, алгоритмы, таблицы и пр.). Сложность уравнений мо­жет проявляться в разных формах.

Во-первых, это число уравнений в системе. Во-вторых, это тип применяемых уравнений. Дифференциальные уравнения решать, как правило, сложнее, чем алгебраические; уравнения в частных производных—сложнее, чем обыкновенные дифференциальные уравнения.

Значительные сложности возникают при переходе от линейных уравнений к нелинейным. Системы линейных алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений можно решить ана­литически в общем виде (по крайней мере, когда этих уравнений не слишком много). Всякая нелинейность усложняет процедуру решения.

 

Параметры модели. Чаще всего простота или сложность мате­матической модели связаны с тем, сколько в нее входит параметров коэффициентов, учитывающих те или иные особенно­сти объекта. Значения параметров характеризуют свойства данно­го конкретного объекта, отличающие его от других объектов того же класса. Чем больше параметров входит в модель, тем подроб­нее удается охарактеризовать его и тем точнее описать.

На одном полюсе здесь выступают предельно идеализирован­ные модели—такие, как идеальный газ, абсолютно упругое тело и т. п. В этом случае уравнения либо вообще не содержат пара­метров, включая лишь универсальные константы (идеальный газ), то сводят число параметров к минимуму (модуль упругости в законе Гука). Эти идеализированные модели почти полностью иг­норируют конкретные свойства объектов. На другом полюсе сложные многопараметрические модели, учитывающие много кон­кретных свойств.

Мы всегда хотим иметь максимально точное описание объекта, и с этой точки зрения сложные модели обладают несомненными преимуществами. Но есть у них и недостатки.

Прежде всего, сложную модель трудно обрабатывать. К тому же, чем сложнее зависимость, тем труд­нее представить себе, как она выглядит в целом. Хотя такая на­глядность, возможность .составить общее представление о харак­тере зависимости, не обязательно нужна при моделировании, но обычно она заметно облегчает анализ.

Еще одна трудность, связанная с применением многопараметри­ческих моделей, -  это чувствительность к ошибкам опытов. Чем больше параметров, тем более точный эксперимент требуется, чтобы достаточно точно оценить эти параметры. Если модель построена на основе структурного подхода, а эксперимент не очень точен, то возникает специфическая опасность потери физического смысла: можно получить неверные значения параметров, хотя модель в целом будет давать достаточно точное совпадение с опытными данными. Это происходит потому, что ошибки в значениях разных параметров взаимно компенсируются. Модель остается пригодной для количественного описания объек­та (в достаточно узких пределах), но физический смысл искажает­ся—мы получаем превратное представление о величинах эффек­тов, связанных с параметрами. В конце концов физический смысл теряется, и параметры модели получают смысл подгоночных параметров, назначение которых — лишь привести в соответ­ствие данные и модель. Уравнение становится эмпирическим, о чем исследователь может не знать. Проиллюстрировать это можно даже на примере достаточно простого—двухпараметрического уравнения Ван-дер-Ваальса.

 

Пример 2. Компенсация ошибок параметров.

В модели Ван-дер-Ваальса параметр п оценивает интенсивность межмолеку­лярного взаимодействия; параметр b—объем, занимаемый молекулами. Урав­нение, разрешенное относительно давления, имеет вид:

p=((RT)/V-b))-(a/V²)                                                                                         (1)

Наиболее точные значения параметров для СО₂ таковы: а=0,3652 Па*м³/моль; b=4,28*10-⁵ м³/моль. По опытным данным получены ошибочные зна­чения: a=0,5755; b=10-⁴. Сравним расчет давления р, МПа при верных и оши­бочных значениях параметров, а также расчет в приближении идеального газа.

 

Т.К.	V, м3/моль	р при разных значениях a и b		р для идеального газа	Т.К.	V, м3/моль	р при разных значениях a и b		р для идеального газа
		Верные	Ошибочные				Верные	Ошибочные
300	0,0005	3,995	3.933	4,989	400	0,0005	5,814	6,013	6,652
300	0,001	2,241	2,196	2,495	400	0,001	3,11	3.120	3,325

 Рис. 1. Прямая и парабола, проведенные по опытным точкам. 

 

Несмотря на большое завышение величин параметров, полученные значения отличаются от рассчитанных по точному уравнению максималь­но на 3,5%. Это гораздо лучше, чем расчет по уравнению идеального газа, где расхождение до­стигает 22%. Таким образом, пользоваться мо­делью для расчетов можно, но физический смысл искажен. Оценки силы взаимодействия и объема молекул завышены соответственно в -1,5 раза и в -2,3 раза, причем завышение одного из па­раметров вынужденно: оно нужно для компен­сации ошибки, содержащейся во втором пара­метре.

 

Если произошла такая утрата физического смысла, начинает проявляться еще одна отрицательная особенность многопарамет­рических моделей: ненадежность экстраполяции. Урав­нение, которое хорошо описывает объект в области, изученной экспериментально, становится крайне неточным уже при небольшом выходе за ее пределы. Разумеется, та же особенность прису­ща и чисто эмпирическим моделям.

 

Пример 3. Неудачная экстраполяция.

Экспериментатор изучал зависимость отклика и от фактора х. Получены следующие данные:

 

 

Экспериментатор знал, что зависимость у от х – почти прямолинейная, быть может слегка искривленная, поэтому он обработал данные уравнением прямой помощью метода наименьших квадрантов и получил следующее выражение:

y = 10,324 + 2,242х

(прямая на рис.) на этом обработку можно было окончить, поскольку довольно значительный разброс данных не позволяет учесть тонкие особенности поведения объекта, но недостаточно опытный исследователь решил получить более точное описание, применив многочлен 4-й степени; он получил уравнение:

у = 10,95 + 3,4575х - 0,36625х² - 0,3575х³ - 0,001375х⁴

(см. кривую на рис.) в исследованных пределах х парабола 4-й степени хорошо соответствует опыту: она проходит через все экспериментальные точки. Но даже близкая интерполяция до значений х = ±х дает результаты явно не соответствующие ожидаемому ходу зависимости. Это происходит потому что вследствие недостаточной точности эксперимента оценки членов высших степеней оказались неточными. А их влияние быстро нарастает при удалении от области эксперимента.

 

Основной вывод из сказанного: если необходима высокая степень описания, нужно применять многопараметрические модели, но тогда эксперимент должен отличаться высокой точностью и большим объемом. Если же требования не столь велики, чаще всего целесообразно использовать простейшую из моделей, обес­печивающих необходимую точность.

Впрочем, в конкретных случаях требуется конкретное рассмот­рение. Бывает и так, что из двух возможных моделей мы выберем несколько более сложную, зато более ясную физически. Дать не­погрешимый рецепт на все случаи жизни невозможно.

Модели сплошных сред и псевдогомогенные модели. Одна из замечательных особенностей процесса познания—упрощение мо­дели, связанное со сменой языка описания. Часто бывает так, что по мере усложнения системы ее описание постепенно усложняется, а затем в какой-то момент резко упрощается, при­чем упрощение связано с тем, что система теперь описывается по-иному, на другом языке.

 

Пример 4. Смена языка описания.

Описать движение одной молекулы, помещенной в сосуд не слишком слож­ной формы, не так уж трудно- Если молекул—две, то сложность описания воз­растает, как минимум, вдвое. Если молекул—сто, то описание становится уже очень сложным; «уследить» за траекторией всех ста молекул очень трудно. Если же число молекул составляет 10²⁰, то описание становится предельно простым:

pV=RT

Но это — описание не на языке молекул, а на языке газовой фазы.

 

Многие, вероятно, давно уже обращали внимание на одну особенность некоторых отраслей науки—таких, как гидродинамика, термодинамика, теория теплопроводности и диффузии, реология, формальная химическая кинетика и ряд других. Свойст­ва вещества в них описываются так, как будто оно не состоит из молекул.

Когда в гидродинамике рассматривают движение жидкости, речь идет вовсе не о движении отдельных молекул. Более того, и физическая схема, и математическое описание в этом случае суще­ственно опираются на представление о том, что параметры теку­щей жидкости (например, скорость) непрерывно меняются от точки к точке.

Разделы физики (и примыкающие разделы химии), исходящие из модели вещества как среды, параметры которых меняются не­прерывно, объединяют названием физика сплошных сред.

Предмет каждого из этих разделов в принципе можно описать и на основе молекулярных представлений. Но описание, как пра­вило, получается неизмеримо более сложным. Модель сплошной среды удобна для использования такого мощного математического аппарата, как дифференциальное и интегральное исчисление. Да­же в случаях, когда наряду с моделью сплошной среды существует хорошо разработанная молекулярная модель, вторая не вытесняет, а дополняет первую—сравните термодинамику и статистическую физику.

Удобства, получаемые при использовании модели сплошной среды, столь велики, что таким же образом часто рассматривают

объекты, состоящие не из молекул, а из гораздо более крупных частиц. Мы описываем, например, течение эмульсии в трубе как течение однородной жидкости, характеризующейся некоей эффек­тивной вязкостью, которая сложным образом зависит от свойств и соотношения фаз, а также от размеров и формы частиц.

Схемы, упрощенно представляющие многофазную систему как однородную, называют псевдогомогенными моделями.

 

Лимитирующие стадии. Многие интересующие нас процессы многостадийны, т. е. распадаются на ряд стадий (этапов, путей). Описание и анализ многостадийного процесса удается су­щественно упростить в тех случаях, когда одна из стадий лими­тирует процесс... Лимитирование важно учитывать не только при описании. Если мы хотим воздействовать на такой процесс, то воздействие должно оказываться именно на лимитирующую стадию. То, какая именно стадия может лимитировать процесс, определяется, с одной стороны, соотношением скоростей (или производительностей, мощностей) разных стадий, а с другой—их вза­имным расположением. Если стадии последовательны, то лимитирует самая медленная (наименее производитель­ная) , если стадии параллельны, то лимитирует самая про­изводительная.

Наконец, встречаются случаи, когда ни медленная, ни быстрая стадия не могут лимитировать процесс. Это бывает тогда, когда, казалось бы, нелимитирующая стадия влияет на протекание той стадии, которая должна была бы лимитировать.

 

 Пример 5. Многостадийный процесс, Руда доставляется с обогатительной фабрики на химический завод по же­лезной дороге. Кроме того, при оказии некоторое количество концентрата пере­возят на автомашинах. Эти два этапа (перевозка по железной дороге и авто­транспортом) осуществляются параллельно. Поэтому, например, при расчете пла­на перевозок маломощным этапом (автоперевозки) можно пренебречь, посколь­ку лимитирует железная дорога.

С другой стороны, железнодорожная перевозка разбивается на последова­тельные этапы: погрузка (около 2 ч), перевозка (около 3 сут) и выгрузка (око­ло 2,5 ч). Здесь лимитирует самый продолжительный этап. Ускоряя погрузочно-разгрузочные работы, существенного выигрыша получить нельзя. Ускорив пере­возку, мы выиграем существенно.

Но если оказывается, что задержка в погрузке может сорвать график дви­жения и задержать отправление эшелона на сутки, то даже небольшое ускоре­ние этого «быстрого» этапа существенно скажется на итоге: перевозка уже не лимитирует, важны обе стадии.

Рассмотрим еще некоторые особенности математических опи­саний, отражающие важные для практики особенности объектов.

 

Стационарные и нестационарные процессы. Простейшим для анализа случаем является стационарный процесс—его пара­метры не меняются во времени. Поэтому время как переменная исчезает из описания. В частности, в соответствующих уравнениях отсутствуют производные по времени. Стационарные процессы описываются обычными уравнениями баланса.

По сути своей стационарный процесс непрерывен. Отметим одну особенность непрерывных процессов: они обязательно прохо­дят в открытых системах, т. е. системах, обменивающихся веществом с окружающей средой. Именно этот обмен — ввод ис­ходных материалов и вывод продуктов—и поддерживает непре­рывность. В аппарате, в котором идет непрерывный процесс, обя­зательно движется поток.

Нестационарные процессы характеризуются измене­нием параметров во времени. Они требуют для своего описания обобщенных уравнений баланса (5), (7). Нестационарными являются все периодические процессы. Кроме того, аппарат непре­рывного действия может работать нестационарно. Это бывает во время переходных процессов, состоящих в переходе с одного, стационарного режима на другой. Переходные процессы возникают при пуске, остановке, переналадке режима, а также вследствие случайных возмущений — колебаний процесса под дей­ствием неконтролируемых факторов.

Нестационарный процесс может протекать как в замкнутой си­стеме, не обменивающейся веществом с окружающей средой (на­пример, в автоклаве), так и в открытой системе (периодическая ректификация, переходный процесс в аппарате непрерывного дей­ствия, и т. п.).

В некоторых случаях один и тот же процесс можно описать и как стацио­нарный, и как нестационарный — в зависимости от системы координат, в кото­рой проводится описание. Так, процесс в потоке может быть стационарным при описании его в координатах, неподвижных относительно аппарата: в данной точ­ке аппарата концентрации и температура не меняются во времени. Но если тот же процесс описать в координатах, движущихся с потоком, процесс окажется нестационарным: по мере движения в потоке концентрации меняются вследствие протекания реакции.

 Объекты с сосредоточенными и распределенными параметрами. Эти понятия являются пространственными аналогами стационар­ности и нестационарности. Если объект таков, что можно пренеб­речь различием параметров процесса в разных точках и считать, что все они (концентрации, температура и др.) полностью выров­нены по объему, то это объект с сосредоточенными па­раметрами. В описании такого объекта отсутствуют производ­ные по координатам, так как все они равны нулю, что сильно упрощает модель. В некотором смысле объект с сосредоточенными параметрами можно рассматривать как точку, в которой происхо­дит процесс, поскольку никаких изменений от точки к точке здесь нет. Описание в этом случае получается наиболее простым.

Если параметры процесса существенно меняются от точки к точке, то это — объект с распределенными парамет­рами. В его описании возникают производные по крайней мере по одной координате, а возможно, и по всем трем. Поэтому опи­сание и анализ здесь много сложнее, чем в случае сосредоточенных параметров.

 

Конечные и дифференциальные уравнения. Математическая мо­дель может содержать как конечные уравнения, не содер­жащие операторов дифференцирования, так и дифференци­альные уравнения.

Конечные уравнения возникают, например, при описании ста­ционарных процессов в объектах с сосредоточенными параметрами. Они могут быть алгебраическими либо трансцендент­ными. В последние входят трансцендентные функции от неиз­вестных. Так, трансцендентны уравнения, содержащие аррениусовы члены (учитывающие влияние температуры на скорости ре­акций).

Обыкновенные дифференциальные уравнения содержат функ­ции лишь одной независимой переменной. Линейные уравне­ния (и их системы) могут быть решены аналитически. Нели­нейные уравнения чаще всего целесообразно решать на ПЭВМ,

 

Дифференциальные уравнения в частных производных появля­ются в задачах, где имеется более одной независимой переменной. Решение их чаще всего представляет собой сложную математиче­скую задачу и обычно требует применения ПЭВМ.

 

Задачи Коши и краевые задачи. При численном решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений встречаются два ос­новных случая, связанные с характером задания начальных условий. Первый — все начальные условия заданы при одном и том же значении независимой переменной: это задача Коши. Например, протекание сложной реакции, состоящей из n стадий, описано n дифференциальными уравнениями; начальные условия заданы в виде n начальных концентраций веществ в момент време­ни <=0.

Численное решение задач Коши сводится к той или иной расчет­ной схеме, в которой осуществляется расчет зависимых переменных при движении от начального до конечного значения независимой переменной.

Значительно сложнее расчет в том случае, когда начальные (точнее, краевые) условия заданы при различных значениях неза­висимой переменной. В этих случаях мы имеем дело с краевы­ми задачами. Краевые задачи часто возникают, например, при описании процессов с противотоком фаз.

 

Пример 6. Краевая задача.

Необходимо рассчитать процесс неизотермической абсорбции в противоточной насадочной колонне. Если растворитель нелетучий, то описание процесса будет содержать 4 дифференциальных уравнения, описывающих изменение концентра­ции поглощаемого компонента и температуры по длине в обеих фазах. (Восполь­зовавшись уравнениями материального и теплового баланса, их число можно уменьшить до двух, но это не скажется на ходе наших рассуждений.) Напра­вим ось длины l снизу вверх; для низа насадки 1=0, а для ее верха l = L. Тогда два начальных условия — состав и температура входящего газа — заданы при 1=0, а два—состав и температура входящей жидкости—при l = L.

 

При численном решении краевой задачи, как правило, прихо­дится задаться начальным приближением — ориентиро­вочными значениями всех зависимых переменных в одной началь­ной точке. Затем задача решается, как задача Коши. Придя в ко­нечную точку, мы обнаруживаем невязку—несовпадение рас­четных значений тех переменных, которые заданы на этом конце» с заданными. С учетом этой невязки вносятся поправки в началь­ное приближение, и весь цикл расчета повторяется. Повторение цикла с внесением поправок производится до тех пор, пока невязка не окажется достаточно малой. Таким образом, краевые задачи решают итерационными методами.

Теперь рассмотрим некоторые задачи, различающиеся тем, от­носительно каких величин, входящих в математическую модель» следует разрешать уравнения.

Прямые и обратные задачи. Обратимся к уравнению (3). Бо­лее подробно это уравнение—общий вид уравнения математиче­ской модели имеет вид:

y_i=F_i(H, X, B,)                                                                                                    (2)

где B=(b₀, b₁, ..., b_р) —вектор параметров. Запись (2) отражает тот факт, что в модель обязательно входят параметры. Возможны два основных класса задач, связанных с уравнениями вида (2).

Задача первого класса формулируется так. Нам заданы H, X, В. В этих условиях следует определить y_i. Это прямая зада­ча. В такой формулировке она сводится к расчету функции, за­данной в явной форме. Если рассмотреть переменные Н и X, то решение прямой задачи дает изменение отклика, или распределение отклика в пространстве факто­ров.

Задача второго класса: нам задано распределение отклика в пространстве факторов H и Х (как правило, задано в виде сово­купности экспериментальных данных) и известен общий вид функции (2). Требуется определить параметры b₀, ..., b_р. Проектные и поверочные расчеты. Эти два типа расчетов в хи­мической технологии различаются тем, какие величины выбирают и качестве выходных. Проектным расчетом называют та­кой, цель которого состоит в определении потребных размеров аппарата, причем показатели, которых следует в нем достигнуть, заданы. Поверочным расчетом называют такой, в кото­ром мы задаемся размерами аппарата и находим, какие показате­ли могут быть при этом достигнуты.

Зачастую целесообразно свести проектный расчет к совокупно­сти поверочных: задаться рядом типоразмеров аппаратов, для каждого из них рассчитать достижимые показатели, после чего выбрать наилучший размер.

Проектные проверочные расчеты.
Эти два типа расчетов в химической технологии различаются тем, какие величины выбирают в качестве выходных. Проектным расчетом называют такой, цель которого состоит в определении потребных размеров аппарата, причем показатели, которых следует в нем достигнуть, заданы. Поверочным расчетом называют такой, в котором мы задаемся размерами аппарата и находим , какие показатели могут  быть при этом достигнуты.

Зачастую целесообразно свести проектный расчет к совокупности поверочных: задаться рядом типоразмеров аппаратов, для каждого из них рассчитать достижимые показатели, после чего выбрать наилучший размер.